Question

Cho z 1 , z 2 , z 3 , z 4  là bốn nghiệm của phương trình z − 1 2 z − i 4 = 1 . Tính giá trị của biểu thức P = z 1 2 + 1 z 2 2 + 1 z 3 2 + 1 z 4 2 + 1  

A. P = 17 9

B. P = − 17 9

C. P = 425

D. P = − 425

Answer 1

Đáp án C.

Ta có z − 1 2 z − i 4 = 1 ⇔ z − 1 4 − 2 z − i 4 = 0 . Đặt f z = z − 1 4 − 2 z − 1 4 . Phương trình f z = 0  có 4 nghiệm nên  f z = 15 z − z 1 z − z 2 z − z 3 z − z 4

Do  i 2 = − 1    nên z 2 + 1 = z 2 − i 2 = z − i z + i . Từ đó ta có:

P = z 1 − i z 2 − i z 3 − i z 4 − i . z 1 + i z 2 + i z 3 + i z 4 + i

= i − z 1 i − z 2 i − z 3 i − z 4 . − i − z 1 − i − z 2 − i − z 3 − i − z 4

⇒ P = f i 15 . f − i 15 = i − 1 4 − 2 i − 1 4 15 . − i − 1 4 − − 2 i − 1 4 15 = 13 5