Ta có:
(x+y+z)(xy+yz+zx)=xyz
<=>(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz=0
<=>(x+y)(y+z)(z+x)=0
\(\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=-y\\ y=-z\\ z=-x\end{array}\right.\)
Do vai trò x,y,z như nhau nên ta chỉ cần xét 1 trường hợp (2 TH còn lại tương tự)
Khi x=-y, ta có:
\(x^{2019}+y^{2019}+z^{2019}=\left(-y\right)^{2019}+y^{2019}+z^{2019}=-y^{2019}+y^{2019}+z^{2019}=z^{2019}\)
\(\left(x+y+z\right)^{2019}=\left(-y+y+z\right)^{2019}=z^{2019}\)
\(\Rightarrow x^{2019}+y^{2019}+z^{2019}=\left(x+y+z\right)^{2019}\)
Để chứng minh \(x^{2019} + y^{2019} + z^{2019} = \left(\right. x + y + z \left.\right)^{2019}\) từ giả thiết \(\left(\right. x + y + z \left.\right) \left(\right. x y + y z + x z \left.\right) = x y z\), ta sẽ đi theo các bước cụ thể dưới đây.
1. Giải thích biểu thức ban đầuTa có giả thiết:
\(\left(\right. x + y + z \left.\right) \left(\right. x y + y z + x z \left.\right) = x y z\)
Biểu thức này có thể được mở rộng và biến đổi. Tuy nhiên, trong bối cảnh của bài toán này, thay vì trực tiếp mở rộng, ta sẽ thử khai thác điều này thông qua các phép biến đổi và xem liệu có thể đi đến kết quả \(x^{2019} + y^{2019} + z^{2019} = \left(\right. x + y + z \left.\right)^{2019}\) hay không.
2. Xem xét trường hợp đặc biệtGiả sử \(x = y = z\), ta có:
Thay vào giả thiết \(\left(\right. x + y + z \left.\right) \left(\right. x y + y z + x z \left.\right) = x y z\), ta có:\(\left(\right. 3 x \left.\right) \left(\right. 3 x^{2} \left.\right) = x^{3}\)\(9 x^{3} = x^{3}\)
Điều này chỉ đúng khi \(x = 0\). Do đó, một trường hợp đặc biệt là \(x = y = z = 0\).
3. Áp dụng cho \(x = y = z = 0\)Khi \(x = y = z = 0\), ta thay vào biểu thức \(x^{2019} + y^{2019} + z^{2019}\) và \(\left(\right. x + y + z \left.\right)^{2019}\):
\(x^{2019} + y^{2019} + z^{2019} = 0^{2019} + 0^{2019} + 0^{2019} = 0\)\(\left(\right. x + y + z \left.\right)^{2019} = \left(\right. 0 + 0 + 0 \left.\right)^{2019} = 0\)Vậy trong trường hợp này, \(x^{2019} + y^{2019} + z^{2019} = \left(\right. x + y + z \left.\right)^{2019}\) là đúng.
4. Xem xét trường hợp tổng quátTrong trường hợp tổng quát, để chứng minh đẳng thức này là đúng, ta có thể phân tích thêm các điều kiện hoặc đặc điểm của các biến \(x\), \(y\), \(z\). Tuy nhiên, từ giả thiết ban đầu \(\left(\right. x + y + z \left.\right) \left(\right. x y + y z + x z \left.\right) = x y z\), có thể thấy rằng bài toán đang hướng tới một kết luận mà chỉ đúng khi các biến \(x\), \(y\), và \(z\) có một mối quan hệ đặc biệt.
Kết luậnDựa trên các phân tích và thử nghiệm với trường hợp đặc biệt \(x = y = z = 0\), ta có thể kết luận rằng đẳng thức \(x^{2019} + y^{2019} + z^{2019} = \left(\right. x + y + z \left.\right)^{2019}\) là đúng trong trường hợp này. Để có một chứng minh tổng quát hơn, ta cần phải khai thác thêm các điều kiện của bài toán hoặc sử dụng các công cụ toán học khác như lý thuyết đa thức hoặc các phép biến đổi khác.
:D toán lớp mấy vậy chị? em đọc hổng hiểu gì hết trơn lun
