Question

Cho: x+y+z=3.Tìm giá trị lớn nhất của bểu thức: \(\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\)

Answer 1

Đề bài đúng phải là tìm GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT nhé :)

Đặt \(A=\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=\frac{x+y}{xyz}\)

Ta có : \(3^2=\left[\left(x+y\right)+z\right]^2\ge4z\left(x+y\right)\Rightarrow\frac{1}{z\left(x+y\right)}\ge\frac{4}{9}\left(1\right)\)

Mặt khác : \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow\frac{\left(x+y\right)^2}{xy}\ge4\left(2\right)\)

Nhân (1) và (2) theo vế : \(\frac{x+y}{xyz}\ge\frac{16}{9}\)

Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 16/9 <=>\(\hept{\begin{cases}x=y\\z=x+y\\x+y+z=3\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=\frac{3}{4}\\z=\frac{3}{2}\end{cases}}\)