Question

cho x,y,z>0. x+y+z=1 tìm giá trị lớn nhất cảu biểu thức P = x/x+1 + y/y+1 + z/z+1

Answer 1

\(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)

\(P=1-\frac{1}{x+1}+1-\frac{1}{y+1}+1-\frac{1}{z+1}\)

\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)

Áp dụng bđt Cauchy-Schwraz dạng Engel ta có:

\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\le3-\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+1+y+1+z+1}\)

                                                                      \(\le3-\frac{3^2}{1+3}=3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)