Đặt \(x=a+1;y=b+1;z=c+1\Rightarrow0\le a,b,c\le2\)và \(a+b+c=3\)
Chứng minh : \(\left(a+1\right)^3+\left(b+1\right)^3+\left(c+1\right)^3\le36\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(a^2+b^2+c^2\right)\le24\). Không mất tính tổng quát, giả sử \(2\ge a\ge b\ge c\ge0\) thì:
\(3a\ge a+b+c=3\Rightarrow2\ge a\ge1\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\le0\)
Theo kết quả bài này thì \(a^2+b^2+c^2\le5\) (em làm thế này cho ngắn, lúc trình bày vô bài làm thì anh ghi cả chứng minh vô luôn nha!). Vậy ta chỉ cần chứng minh: \(a^3+b^3+c^3\le9\).
Ta có: \(a^3+b^3+c^3\le a^3+b^3+c^3+3bc\left(b+c\right)\)
\(=a^3+\left(b+c\right)^3=a^3+\left(3-a\right)^3\)
\(=9\left(a-1\right)\left(a-2\right)+9\le9\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(2;1;0\right)\) và các hoán vị.
