Question

cho x,y,z thỏa mãn điều kiện x^2 + y^2 + z^2 = 1.Tìm GTNN của xy + 2yz + xz

Answer 1

Ta có (x + y +z)² ≥ 0 suy ra x² + y² + z² + 2 ( xy + yz + zx) ≥ 0 

1 + 2 ( xy + yz + zx) ≥ 0 

xy + yz + zx ≥ - 1 / 2 

Thế thì min (xy + yz + zx) = - 1 / 2 khi x+ y + z = 0 và x² + y² + z² = 1 ( ♥ ) 

Lại có I xz I = I x I I z I ≤ 1 / 2 ( x² + z² ) = 1 / 2 ( 1 - y² ) ≤ 1 / 2 

Thế thì min ( xz ) = - 1 / 2 khi x = - z và x² + y² + z² = 1 và y = 0 ( ♣ ) 

Từ ( ♥ ) và ( ♣ ) cho ta 

min ( xy + yz + 2.zx ) = - 1 / 2 - 1 / 2 = - 1 

khi x = √2 / 2 ; y = 0 ; z = - √2 / 2 chẳng hạn 

P/C bạn dựa vào đk x + y + z = 0 ; x² + y² + z² = 1;y = 0 ; x = - z