Áp dụng bđt :
\(\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\Leftrightarrow4ab\le\left(a+b\right)^2\)
ta có biểu thức tương đương P như sau:
\(\dfrac{1}{2x+y+z}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}\right)\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
Hoàn toàn tương tự ta được:
\(\dfrac{1}{x+2y+z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z}\right);\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{z}\right)\)
Cộng theo vế bất đẳng thức ta được:
\(P=\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+2}+\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{2010}{4}=\dfrac{1005}{2}\)
Vậy giá trị lớn nhất của P là \(\dfrac{1005}{2}\)
Đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 670
