Áp dụng bđt AM-GM ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+2x}+\frac{1+2x}{9}\ge2\sqrt{\frac{1}{1+2x}.\frac{1+2x}{9}}=\frac{2}{3}\left(1\right)\\\frac{1}{1+2y}+\frac{1+2y}{9}\ge2\sqrt{\frac{1}{1+2y}.\frac{1+2y}{9}}=\frac{2}{3}\left(2\right)\\\frac{1}{1+2z}+\frac{1+2z}{9}\ge2\sqrt{\frac{1}{1+2z}.\frac{1+2z}{9}}=\frac{2}{3}\left(3\right)\end{cases}}\)
Lấy \(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\)ta được:
\(P+\frac{3+2\left(x+y+z\right)}{9}\ge2\)
\(\Leftrightarrow P\ge2-\frac{3+2\left(x+y+z\right)}{9}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{15+2\left(x+y+z\right)}{9}\left(4\right)\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có:
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)Thay vào (4) ta được:
\(P\ge\frac{15+2.3}{9}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{7}{3}\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
Vậy ...
Mình cảm ơn ạ, các bạn giúp mình nhiều quá
QĐMS và sau khi rút gọn ta có:
P=[4(xy+yz+zx)+4(x+y+z)+3]/[8xyz+4(xy+yz+zx)+2(x+y+z)+1]
Do ta đoán đc ''='' xảy ra <=> x=y=z=1
=> Cần CM P>=3/2
Dùng biến đổi tương đương để Cm P>3/2 là xong
Đoạn cuối bạn Châu sai dấu trên tử số, hơn nữa dùng cách này chứng minh kiểu gì cũng dẫn tới ngược dấu vì x+y+z có "ưu thế" hơn xyz nên khi chuyển vế biến thành \(-\left(x+y+z\right)\) chỉ có thể sử dụng \(-\left(x+y+z\right)\le-3\sqrt[3]{xyz}\) (ngược dấu)
Bài này đơn giản đặt ẩn phụ là giải quyết được:
\(P=\frac{xyz}{xyz+2x}+\frac{xyz}{xyz+2y}+\frac{xyz}{xyz+2z}=\frac{xy}{xy+2}+\frac{yz}{yz+2}+\frac{zx}{zx+2}\)
Do \(xyz=1\Rightarrow\) đặt \(\left(xy;yz;zx\right)=\left(\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a}\right)\) ta được:
\(P=\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}=\frac{a^2}{a^2+2ab}+\frac{b^2}{b^2+2bc}+\frac{c^2}{c^2+2ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=1\)
\(P_{min}=1\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;1\right)\Leftrightarrow\left(x;y;z\right)=\left(1;1;1\right)\)
Bài của Châu ngược dấu đoạn cuối rồi:) Đặt ẩn một phát là xong ngay ấy mà;)
Đặt \(\left(x;y;z\right)\rightarrow\left(\frac{bc}{a^2};\frac{ca}{b^2};\frac{ab}{c^2}\right)\). Bài toán quy về:
Tìm Min \(P=\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ca}+\frac{c^2}{c^2+2ab}\). Ta có:
\(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=1\)
Vậy..
