Question

cho x,y,z là ba số dương thỏa mãn điều kiện

\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=2\)

Chứng minh \(xyz\le\frac{1}{8}\)

Answer 1

Ta có: \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x+1}=2-\frac{1}{y+1}-\frac{1}{z+1}=\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\ge2\sqrt{\frac{yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}=\frac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}\)  (1)

(Vì x;y;z dương nên áp dụng BĐT Cô-si)

Chưng minh tương tự ta có: \(\frac{1}{y+1}\ge2\sqrt{\frac{xz}{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}}=\frac{2\sqrt{xz}}{\sqrt{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}}\) (2)

                                             \(\frac{1}{z+1}\ge\frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}}\) (3)

Nhân (1) với (2) với (3) ta có:

Answer 2

giải tiếp

\(\frac{1}{x+1}.\frac{1}{y+1}.\frac{1}{z+1}=\frac{1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\ge\frac{8\sqrt{\left(xyz\right)^2}}{\sqrt{\left[\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\right]^2}}\)

Với x;y;z > 0 nên \(1\ge\frac{8xyz}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\Leftrightarrow1\ge8xyz\Leftrightarrow xyz\le\frac{1}{8}\)

Vậy ....