Question

CHO X,Y,Z LÀ 3 SỐ DƯƠNG THỎA MÃN 

\(\frac{1}{X+1}+\frac{1}{Y+1}+\frac{1}{Z+1}=2\)

CHỨNG MINH 

\(XYZ\le\frac{1}{8}\)

Answer 1

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(\frac{1}{x+1}=\)\(1-\frac{1}{y+1}+1-\frac{1}{z+1}=\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\ge2\sqrt{\frac{ỹz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}\)

Tương tự ta cũng có: \(\frac{1}{y+1}\ge2\sqrt{\frac{xz}{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}};\frac{1}{z+1}\ge2\sqrt{\frac{xy}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}}\)

Nhân từng vế của ba BĐT trên ta được:

\(\frac{1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\ge8\frac{xyz}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\Rightarrow xyz\le\frac{1}{8}\)