\(\hept{\begin{cases}x,y\ge0\\x+y=1\end{cases}}\Rightarrow\left[x,y\right]=\left[0,1\right];\left[1,0\right]\)
[x,y] = [0,1]
\(Q=\frac{0}{1+1}+\frac{1}{0+1}=0+1=1\)
[x,y] = [1,0]
\(Q=\frac{1}{0+1}+\frac{0}{1+1}=1+0=1\)
Vậy Q luôn = 0 khi thỏa mãn đề bài
Cách 1:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel:
\(Q=\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy+x+y}=\frac{1}{2xy+1}\)
\(\ge\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+1}=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}\)
Chứng minh luôn BĐT phụ nè:
BĐT phụ: \(\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge2xy\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\) - luôn đúng theo Cô si.
