Question

Cho x,y là hai số thỏa mãn x+2y=3. Tìm GTNN của E= x^2 +2y^2

Answer 1

Từ x + 2y =3 => x = 3 - 2y.Thay x = 3 -2y vào biểu thức E ,ta có : 

 E = x² +2y² =(3-2y)² + 2y² =6y² -12y + 9

      = \(6.\left(y^2-2y+\frac{3}{2}\right)=6.\left[\left(y^2-2y+1\right)+\frac{1}{2}\right]=6.\left[\left(y-1\right)^2+\frac{1}{2}\right]=6\left(y-1\right)^2+3\)

Do (y-1)² \(\ge\)0=> E\(\ge\)3.

Vậy MIN_E khi y = 1,x =3 - 2.1 =1

Answer 2

x+2y=3⇒y=3−x2⇒y=3−x2(1)

Thế (1) vào E ta được : E=x22+x2−6x+92x2−6x+92

⇔2E=2x2+x2−6x+9⇔2E=3x2−6x+9⇔2E=2x2+x2−6x+9⇔2E=3x2−6x+9

⇔2E=3(x2−2x+1+2)⇔E=32[(x−1)2+2]⇔2E=3(x2−2x+1+2)⇔E=32[(x−1)2+2]

⇔E=32(x−1)2+3⇔E=32(x−1)2+3 . Do (x-1)22≥≥0⇒32(x−1)2≥0⇒32(x−1)2≥0⇒32(x−1)2+3≥3⇔E≥3⇒32(x−1)2+3≥3⇔E≥3 . Hay Emin=3Emin=3 .

Vậy giá trị nhỏ nhất của E là 3 ⇔{x=1y=1