k=x-1; t=y-1; => k,t>0
<=>
(k^2+2k+1)k+(t^2+2t+1)t>=8kt
k^3+2k^2+k+t^3+2t^2+t>=8kt
co si
\(2k^2+2k^2\ge2\sqrt{2.k^2.2.t^2}=4kt\)
\(k^3+t^3+k+t\ge4\sqrt[4]{k^4.t^4}=4kt\)
đẳng thức khi k^3=t^3=k^2=t^2=k=t=1=> x=y=2
cộng vế với vế
\(VT\ge VP\Rightarrow dpcm\)
Câu 1: Cho x,y là các số thực dương thõa mãn xy=1. Chứng minh rằng: \(\left(x+y+1\right)\left(x^2+y^2\right)+\frac{4}{x+y}\ge8\)
1) với x,y là số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)
2) cho x,y,z là các số thực lớn hơn -1. chứng minh \(\frac{1+x^2}{1+y+z^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}\ge2\)
Cho x,y,z là các số thực lớn hơn -1 Chứng minh \(\frac{1+x^2}{1+y+z^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}\)
Bài 1 : cho x, y thoả mãn \(xy\ge2\). Tìm giá trị nhỏ nhất
\(P=\frac{1}{1+x^2}+\frac{4}{4+y^2}+xy\)
Bài 2 : cho số thực x thoả mãn 0 < x < 1. Tìm Min thức
\(A=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}\)
Bài 3 : Cho a, b, c là các số lớn hơn 1
Chứng minh \(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge12\)
Bài 4 : cho các số dương a
Chứng minh \(a^2+\frac{36}{a+1}\ge16\)
Bài 5 :
a, tìm tất cả số hữu tỉ x sao cho \(A=x^2+x+6\) là 1 số chính phương
b, Cho x > 1 và y > 1
Chứng minh \(\frac{\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x+y\right)\left(y-1\right)}\ge8\)
Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1\)
Chứng minh rằng: Trong ba số x,y,z có ít nhất 1 số không nhỏ hơn 2 và có ít nhất 1 số không lớn hơn 2.
cho \(x,y,z\)là các số thực lớn hơn \(-1\). Chứng minh
\(\frac{1+x^2}{1+y+z^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}\ge2\)
cho x;y là 2 số thực thảo mãn x>y và xy=1 . chứng minh \(\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{\left(x-y\right)^2}\ge8\)
Cho x,y là các số thực lớn hơn 1. Chứng minh rằng:
\(\frac{\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\) lớn hơn hoặc bằng 8
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn : x+y+z=xyz
Chứng minh rằng : \(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}+\frac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}+\frac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le xyz\)
