Question

Cho   \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)   và \(x+y+z\ne0\). Giá trị của ​biểu thức \(P=\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)\)là 

 

Answer 1

Ta có

x³ + y³ + z³ - 3xyz = 0

<=> (x + y)³ + z³ - 3xy(x + y) - 3xyz = 0

<=> (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - xz) = 0

Mà theo đề bài (x + y + z) \(\ne\)0 nên

(x² + y² + z² - xy - yz - xz) = 0

Ta có x² + y² + z² - xy - yz - xz \(\ge\)xy + yz + xz - xy - yz - xz = 0

Dấu = xảy ra khi x = y = z

Từ đó ta có

\(P=\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=8\)