Question

cho x; y; z thỏa mãn x^2 + y^2 +z^2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của xy +yz+2.zx?

Answer 1

Cách 1:

Ta có \(A=xy+yz+2zx\)

\(\Rightarrow A+1=x^2+y^2+z^2+xy+yz+2zx\)

                    \(=\left(x+z+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3}{4}y^2\ge0\)

\(\Rightarrow A\ge-1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}y=0\\x=-z\end{cases}}\)

Answer 2

Ta có : \(\left(x+y+z\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx\ge\frac{-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{2}=-\frac{1}{2}\)

Lại có : \(\left(x+z\right)^2\ge0\Rightarrow xz\ge\frac{-\left(x^2+z^2\right)}{2}=\frac{y^2-1}{2}\ge-\frac{1}{2}\)

Khi đó : \(xy+yz+2zx\ge-1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=o\\x^2=z^2=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Answer 3

Cách 2

Ta có : \(\left(x+y+z\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow xy+yz+zx\ge\frac{-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{2}=\frac{-1}{2}\)

Mặt khác: \(\left(x+z\right)^2\ge0\Rightarrow xz\ge\frac{-\left(x^2+z^2\right)}{2}=\frac{y^2-1}{2}\ge\frac{-1}{2}\)

\(\Rightarrow xy+yz+2xz\ge-1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}y=0\\x=-z\end{cases}}\)

Answer 4

Nguyễn Linh Chi . E thấy đúng mà cô, tại khi mũ 2 thì có thể đối nhau đc mà cô ? 

VD : \(2^2=\left(-2\right)^2\) ??

Answer 5

Như vậy thì cả hai bạn đều phải giải rõ ra.

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x+z=0\\x+y+z=0\\x^2+y^2+z^2=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=-z\\x^2=z^2=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Answer 6

Nguyễn Linh Chi : Vâng ạ, em cảm ơn cô đã nhắc nhở.