Question

Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn \(2^x=3^y=6^{-z}\). Tính \(M=xy+yz+zx\)

Answer 1

Ta thấy nếu một trong 3 số x, y, z bằng 0 thì 2 số còn lại cũng bằng 0 và M = 0

Xét trường hợp \(xyz\ne0\) :

Đặt \(2^x=3^y=6^{-z}=k>0\). Khi đó \(2=k^{\frac{1}{x}};3=k^{\frac{1}{y}};6=k^{-\frac{1}{z}}\)

mà \(2.3=6\) nên \(k^{\frac{1}{x}}.k^{\frac{1}{y}}=k^{-\frac{1}{z}}\)

                                    \(\Leftrightarrow k^{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}=k^{-\frac{1}{z}}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{z}\)

                                                             \(\Leftrightarrow xy+yz+zx=0\)

Vậy trong mọi trường hợp, ta đều có : \(M=0\)