Question

Cho x, y, z > 0. Chứng minh:

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge2\)

Answer 1

\(\ge3\)mới chứng minh được

Answer 2

@Trần Thùy Linh nói đúng đề rồi nhé

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\)

Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số không âm :

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz}{xyz}}=3\sqrt[3]{1}=3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=x=1\)

Answer 3

Cách khác (nhớ sửa đề là >=3)

Ta có:\(VT-VP=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}-3\)

\(=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\right)+\left(\frac{y}{z}-1+\frac{z}{x}-\frac{y}{x}\right)\)

\(=\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}+\frac{y-z}{z}+\frac{z-y}{x}\)\(=\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}+\frac{y-z}{z}-\frac{y-z}{x}\)

\(=\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}+\frac{\left(y-z\right)\left(x-z\right)}{xz}\).Do x;y;z có tính chất hoán vị vòng quanh,ta giả sử c là số bé nhất ( \(a\ge c;b\ge c\))

Thì VT - VP >=0 suy ra VT >= VP (đpcm)