Question

 cho √x + √y =4 tim gtln cua (√x +1 ) (√y + 2 )

Answer 1

Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2+2ab-4ab\ge0\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b.

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{y}+2\right)\le\frac{1}{4}\left(\sqrt{x}+1+\sqrt{y}+2\right)^2=\frac{1}{4}\left(4+3\right)^2=\frac{49}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\sqrt{x}+1=\sqrt{y}+2\text{ và }\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\frac{5}{2}\text{ và }\sqrt{y}=\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{25}{4}\text{ và }y=\frac{9}{4}\)

Vậy GTLN của biểu thức đã cho là \(\frac{49}{4}\) khi \(x=\frac{25}{4};y=\frac{9}{4}\)