Question

Cho x, y> 0 thỏa xy=1

Tìm GTLN \(A=\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{x^2+y^4}\)

Answer 1

Áp dụng Bđt Cô si :

\(x^4+y^2\ge2\sqrt{x^4y^2}=2x^2y=2x\left(xy=1\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^4+y^2}\le\frac{1}{2x}\)\(\Leftrightarrow\frac{x}{x^4+y^2}\le\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}\left(1\right)\)

\(x^2+y^4\ge2\sqrt{x^2y^4}=2xy^2=2y\left(xy=1\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+y^4}\le\frac{1}{2y}\Leftrightarrow\frac{y}{x^2+y^4}\le\frac{1}{2}\left(2\right)\)

Cộng theo vế của (1) và (2) 

\(\Rightarrow A\le1\rightarrow Max_A=1\)

Dấu = khi x=y=1