\(M=\frac{x^5}{30}-\frac{x^3}{6}+\frac{2x}{15}\)
\(=\frac{x^5}{30}-\frac{5x^3}{30}+\frac{4x}{30}\)
\(=\frac{x^5-5x^3+4x}{30}\)
\(=\frac{x\left(x^4-5x^2+4\right)}{30}\)
\(=\frac{x\left[\left(x^4-4x^2\right)-\left(x^2-4\right)\right]}{30}\)
\(=\frac{x\left[x^2\left(x^2-4\right)-\left(x^2-4\right)\right]}{30}\)
\(=\frac{x\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)}{30}\)
\(=\frac{\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)}{30}\)
\(\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\) là tích của 5 số tự nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 , 3 , 5.
Mà các số 2 , 3 , 5 nguyên tố với nhau từng đôi một nên \(\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\)chia hết cho 2 . 3 .5 = 30
Do đó \(M\in Z\)
Vậy....
