Question

Cho tứ giác ABCD và một điểm M thuộc miền trong của tứ giác . Chứng minh BĐT :

a) MA + MB + MC + MD >= 1/2 *(AB+BC+CD+DA)

b) MA+MB+MC+MD >= AC+BD. Dấu "=" xảy ra khi nào?

Answer 1

a/ Áp dụng BĐT ba điểm : 

\(AM+MB\ge AB\) ; \(BM+MC\ge BC\); \(CM+MD\ge CD\) ; \(DM+MA\ge DA\)

Cộng theo vế : \(2\left(MA+MB+MC+MD\right)\ge AB+BC+CD+DA\)

\(\Leftrightarrow MA+MB+MC+MD\ge\frac{AB+BC+CD+DA}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AC và BD

b/ Ta cũng áp dụng BĐT ba điểm :

\(AM+MC\ge AC\) ; \(BM+MD\ge BD\)

Cộng theo vế : \(MA+MB+MC+MD\ge AC+BD\)

Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AC và BD