Cho $\triangle$ `DEF` nhọn nội tiếp đường tròn tâm `O`. Gọi `EA`, `FB` là các đường cao của $\triangle$ `DEF`, `EA` cắt `FB` tại `H` `a)` Chứng minh : `D,A,H,B` cùng thuộc 1 đường tròn `b)` Kéo dài `DH` cắt `EF` tại `K`, kẻ đường kính `DM` của đường tròn `(O)`. Chứng minh : `DH` $\bot$ `EF` và `DE.DF=DK.DM` `c)` Gọi `I` là trung điểm của `EF`. Chứng minh : `H,I,M` thẳng hàng và `2.OI` > `AB`
a: Xét tứ giác DAHB có \(\hat{DAH}+\hat{DBH}=90^0+90^0=180^0\)
nên DAHB là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AB
=>D,A,H,B cùng thuộc một đường tròn
b: Xét ΔDEF có
EA,FB là các đường cao
EA cắt FB tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔDEF
=>DH⊥EF tại K
Xét (O) có
ΔDFM nội tiếp
DM là đường kính
Do đó: ΔDFM vuông tại F
=>DF⊥FM
mà EH⊥DF
nên EH//FM
Xét (O) có
\(\hat{DEF};\hat{DMF}\) là các góc nội tiếp chắn cung DF
Do đó: \(\hat{DEF}=\hat{DMF}\)
Xét ΔDKE vuông tại K và ΔDFM vuông tại F có
\(\hat{DEK}=\hat{DMF}\)
Do đó: ΔDKE~ΔDFM
=>\(\frac{DK}{DF}=\frac{DE}{DM}\)
=>\(DK\cdot DM=DF\cdot DE\)
c: Xét (O) có
ΔDEM nội tiếp
DM là đường kính
Do đó: ΔDEM vuông tại E
=>EM⊥ ED
mà FH⊥ED
nên FH//EM
Xét tứ giác EHFM có
EH//FM
EM//HF
Do đó: EHFM là hình bình hành
=>EF cắt HM tại trung điểm của mỗi đường
mà I là trung điểm của EF
nên I là trung điểm của HM
=>H,I,M thẳng hàng
Xét ΔDHM có
I,O lần lượt là trung điểm của MH,MD
=>IO là đường trung bình của ΔDHM
=>DH=2IO
mà DH>AB
nên 2IO>AB
`a)` Gọi `C` là trung điểm $DH$ `=>AC;BC` lần lượt là trung tuyến của hai tam giác vuông `\Delta ADH;\Delta BDH` `=>AC=CD=CH=1/ 2 DH=BC` `=>D;A;H;B` cùng thuộc đường tròn tâm $C$ đường kính `DH` $\\$ `b)` Xét `\Delta DEF` có: `EA;FB` là các đường cao `EA` và $FB$ cắt nhau tại $H$ `=>H` là trực tâm `\Delta DEF` `=>DH`$\perp E F$ tại $K$ (đpcm) $\\$ Ta có: `\hat{DEK}=\hat{DMF}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{DF}` `\hat{DFM}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Xét `\Delta DEK` và `\Delta DMF` có: `\hat{DKE}=\hat{DFM}=90°` `\hat{DEK}=\hat{DMF}` (c/m trên) `=>\Delta DEK`$\backsim$`\Delta DMF` (g-g) `=>{DE}/{DM}={DK}/{DF}` `=>DE.DF=DK.DM` (đpcm) $\\$ `c)` Vì `\hat{DFM}=90°=>MF`$\perp DF$ Mà $EH\perp DF$ `=>EH`//$MF$ $(1)$ $\\$ `\hat{DEM}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) `=>ME`$\perp DE$ Mà $FH\perp DE$ `=>FH`//$ME$ $(2)$ Từ `(1);(2)=>MFHE` là hình bình hành Vì `I` là trung điểm $EF$ (gt) `=>I` là trung điểm $HM$ `=>H;I;M` thẳng hàng (đpcm) $\\$ Xét `\Delta DHM` có: `O` là trung điểm $DM$ (vì $DM$ là đường kính $(O))$ `I` là trung điểm $HM$ (c/m trên) `=>OI` là đường trung bình `\Delta DHM` `=>OI=1/ 2 DH` `=>DH=2OI` $\\$ Từ câu `a` ta có `A;B\in (C; {DH}/2)` `=>AB` là dây cung và `DH` là đường kính của `(C;{DH}/2)` `=>DH\ge AB` (đường kính là dây cung lớn nhất) Nếu dấu "=" xảy ra tức là `DH=AB` `=>AB;DH` đều là đường kính của `(C)` nên cắt nhau tại trung điểm `C` của mỗi đường `=>ADBH` là hình bình hành Mà `\hat{DBH}=90°` `=>ADBH` là hình chữ nhật `=>\hat{ADB}=90°` `=>\hat{EDF}=90°` (mâu thuẫn giả thiết `\Delta DEF` nhọn) `=>` Dấu "=" không xảy ra hay `DH>AB` `=>2OI>AB` (đpcm)
