\(A=2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+...+2^{100}\\ =\left(1+2\right)+\left(2^2+2^3\right)+\left(2^4+2^5\right)+...+\left(2^{98}+2^{99}\right)+2^{100}\\ =3+2^2.\left(1+2\right)+2^4.\left(1+2\right)+...+2^{98}.\left(1+2\right)+2^{100}\\ =3+2^2.3+2^4.3+...+2^{98}.3+2^{100}\\ =3.\left(1+2^2+2^4+...+2^{98}\right)+2^{100}\)
Vì : \(3\left(1+2^2+2^4+...+2^{98}\right)⋮3\) và \(2^{100}\) chia 3 dư 1
Nên A chia 3 dư 1
Số số hạng của A:
100 - 0 + 1 = 101 (số)
Do 101 : 2 = 50 (dư 1) nên ta có thể nhóm các số hạng của A thành từng nhóm mà mỗi nhóm có 2 số hạng và dư 1 số hạng như sau:
A = 2⁰ + (2¹ + 2²) + (2³ + 2⁴) + ... + (2⁹⁹ + 2¹⁰⁰)
= 1 + 2.(1 + 2) + 2³.(1 + 2) + ... + 2⁹⁹.(1 + 2)
= 1 + 2.3 + 2³.3 + ... + 2⁹⁹.3
= 1 + 3.(2 + 2³ + ... + 2⁹⁹)
Do 3.(2 + 2³ + ... + 2⁹⁹) ⋮ 3
⇒ 1 + 3.(2 + 2³ + ... + 2⁹⁹) chia 3 dư 1
Vậy A chia 3 dư 1
