Question

Cho tam giác nhọn ABC , M di động thuộc miền trong tam giác ABC , AM giao BC ở A', BM giao AC ở B', Cm giao AB ở C'

CMR :

 \(\frac{MA'}{AA'}\)*\(\frac{MB'}{BB'}\)*\(\frac{MC'}{CC'}\)<=\(\frac{1}{27}\)voi mọi M. dau (=) xay ra khi nao

 

Answer 1

Ta có ; \(\frac{MA'}{AA'}=\frac{S_{BMC}}{S_{ABC}}\) ; \(\frac{MB'}{BB'}=\frac{S_{AMC}}{S_{ABC}}\) ; \(\frac{MC'}{CC'}=\frac{S_{ABM}}{S_{ABC}}\)

\(\Rightarrow\frac{MA'}{AA'}+\frac{MB'}{BB'}+\frac{MC'}{CC'}=\frac{S_{BMC}+S_{AMC}+S_{AMB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)

Áp dụng bất đằng thức Cauchy : \(\frac{MA'}{AA'}.\frac{MB'}{BB'}.\frac{MC'}{CC'}\le\left(\frac{MA'+MB'+MC'}{3}\right)^3=\left(\frac{1}{3}\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{MA'}{AA'}.\frac{MB'}{BB'}.\frac{MC'}{CC'}\le\frac{1}{27}\). Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}\frac{MA'}{AA'}=\frac{MB'}{BB'}=\frac{MC'}{CC'}\\\frac{MA'}{AA'}+\frac{MB'}{BB'}+\frac{MC'}{CC'}=1\end{cases}}\)\(\Rightarrow\frac{MA'}{AA'}=\frac{MB'}{BB'}=\frac{MC'}{CC'}=\frac{1}{3}\)

Vậy dấu "=" xảy ra khi M là trọng tâm của tam giác ABC.