cho tam giác nhọn abc có bc = 2ab. gọi d là trung điểm của đoạn thẳng bc. từ d kẻ tia dx//ab và từ a kẻ tia ay//bc sao cho tia dx cắt tia ay tại e.
a, cmr tứ giác abde là hình thoi
b, cmr tứ giác aecd là hbh và be vuông góc ce
c, gọi o là giao điểm của be và ad, k là giao điểm của de và oc, j là giao điểm của bk và ec. cmr je=jc
d, gọi i là giao điểm của bk và od. cm: 4io = ad
a: Xét tứ giác ABDE có
AB//DE
AE//BD
Do đó: ABDE là hình bình hành
Hình bình hành ABDE có AB=BD(=BC/2)
nên ABDE là hình thoi
b: ta có: ABDE là hình thoi
=>AE//BD và AE=BD
Ta có: AE//BD
D\(\in\)BC
Do đó: AE//CD
Ta có: AE=BD
BD=CD
Do đó: AE=CD
Xét tứ giác AECD có
AE//CD
AE=CD
Do đó: AECD là hình bình hành
Ta có: ABDE là hình thoi
=>DE=DB
mà DB=BC/2
nên ED=BC/2
Xét ΔEBC có
ED là đường trung tuyến
\(ED=\dfrac{BC}{2}\)
Do đó: ΔEBC vuông tại E
=>BE\(\perp\)EC
c: Ta có: ABDE là hình thoi
=>AD cắt BE tại trung điểm của mỗi đường và AD\(\perp\)BE
=>O là trung điểm chung của AD và BE
Xét ΔBEC có
ED,CO là các đường trung tuyến
ED cắt CO tại K
Do đó: K là trọng tâm
Xét ΔBEC có
K là trọng tâm
BK cắt EC tại J
Do đó: J là trung điểm của EC
=>JE=JC
d: Xét ΔBEJ có OI//EJ
nên \(\dfrac{OI}{EJ}=\dfrac{BO}{BE}\)
=>\(\dfrac{IO}{EJ}=\dfrac{1}{2}\)
=>\(IO=\dfrac{1}{2}EJ=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot EC=\dfrac{1}{4}\cdot EC=\dfrac{1}{4}\cdot AD\)
=>AD=4IO
