Cho tam giác MNP cân tại M, kẻ MH vuông góc với NP tại H. Gọi A là trung điểm của NH. Trên tia đối của tia AM lấy điểm B sao cho AB=AM
a) Chứng minh tam giác MAH=tam giác BAN và BN vuông góc với NP
b) So sánh BN với MN; góc NMA với AMH
c) Gọi I là trung điểm của BP. Chứng minh M,H,I thẳng hàng và NI=1/2 BP
a/
Xét tg MAH và tg BAN có
AM=AB (gt); AN=AH (gt)
\(\widehat{MAH}=\widehat{BAN}\) (góc đối đỉnh)
=> tg MAH = tg BAN (c.g.c)
b/
Ta có tg MAH = tg BAN (cmt) mà \(\Rightarrow\widehat{BNA=}\widehat{MHA}=90^o\)
Xét tg vuông BAN có AB>BN (trong tg vuông cạnh huyền là cạnh có số đo lớn nhất)
Mà AB=AM
=> AM>BN (1)
Xét tg vuông MAH có \(\widehat{MAH}\) là góc nhọn => \(\widehat{MAN}\) là góc tù
Xét tg MAN có MN>AM (trong tg cạnh đối diện với góc tù là cạnh có số đo lớn nhất) (2)
Từ (1) và (2) => MN>BN
Ta có tg MAH = tg BAN (cmt) => \(\widehat{NBM}=\widehat{AMH}\) (3)
Xét tg BMN có
MN>BN (cmt) => \(\widehat{NBM}>\widehat{NMA}\) (trong tg góc đối diện với cạnh có số đo lớn hơn thì lớn hơn góc đối diện với cạnh có số đo nhỏ hơn) (4)
Từ (3) và (4) => \(\widehat{AMH}>\widehat{NMA}\)
c/
Ta có \(\widehat{BNA}=90^o\left(cmt\right)\Rightarrow BN\perp NP\) (1)
Xét tg MNP có \(MH\perp NP\left(gt\right)\) => MH là đường cao
=> MH là đường trung tuyến của tg MNP (trong tg cân đường cao hạ từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến) => HN=HP
Mà IB=IP (gt)
=> IH là đường trung bình của tg BNP => IH//BN (2)
Từ (1) và (2) => \(IH\perp NP\) mà \(MH\perp NP\)
=> M; H; I thảng hàng (từ 1 điểm trên đường thẳng chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho)
Xét tg INP có
\(IH\perp NP\) => IH là đường cao của tg INP
HN=HP (cmt) => IH là đường trung tuyến của tg INP
=> tg INP là tg cân tại I (trong tg đường cao đồng thời là đường trung tuyến thì tg đó là tg cân) => IN=IP (cạn bên tg cân)
Mà IP=IB (gt) và IP+IB=BP
=> IN=1/2BP
