Question

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trung tuyến AM, gọi D là trung điểm của AB, E đối xứng với M qua D. F đối xứng với A qua M

Chứng minh

a) E đối xứng với M qua AB

b) tứ giác AEMC là hình gì?

c) ABFC là hình chữ nhật

                  

Answer 1

a) Xét tam giác ABC vuông tại A, có:
* AM là trung tuyến (gt)
=> AM = BM = MC (hệ quả)
=> tam giác BMA cân tại M
Mà MD là trung tuyến (D là trung điểm)
=> MD cũng là đường cao
Mà DM = DE (M đối xứng với E qua D)
=> E, M đối xứng nhau qua AB (do là đường trung trực) (đpcm)

b) Xét tam giác ABC, có:
* D là trung điểm AB(gt)
* M là trung điểm BC(AM là trung tuyến)
=> DM là đường trung bình
=> DM // AC (t/c)
=> DM = AC : 2 (t/c)
     2DM = AC
Mà DM = DE (M đối xứng với E qua D)
=> EM = AC
Mà EM // AC (DM // AC, E thuộc DM)
=> AEMC là hình bình hành

c) Xét tam giác ABF, có:
* D, M lần lượt là trung điểm AB, AF 
=> DM là đường trung bình
=> DM // BF
Mà DM // AC (cmt)
=> BF // AC
=> ABFC là hình thang

Ta có : BF // AC (cmt)
Mà AC vuông góc với AB (tam giác ABC vuông)
=> AC vuông góc với AB

Ta có ABFC là hình thang (cmt)
Mà góc B = góc A ( AC, AB cùng vuông góc với AB)
=> ABFC là hình thang cân (có 2 góc đáy bằng nhau)
Mà góc A = 90 độ (tam giác ABC vuông tại A)
=> ABFC là hình chữ nhật (đpcm)