Question

Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy M thuộc AC. Từ C vẽ đoạn thẳng vuông góc với BM và cắt BM tại D, cắt tia BA tại E

a) CM: EA . EB = EC . ED

b) CMR: khi M di chuyển thì BM . BD + CM . CA có giá trị không đổi

c) Kẻ DH vuông góc với BC ( H thuộc BC ) . Gọi P , Q lần lượt là trung điểm của BH , DH . CM: CQ vuông góc với PD

Answer 1

a) * Chứng minh EA.EB = ED.EC

- Chứng minh Δ EBD đồng dạng với Δ ECA (gg)

- Từ đó suy ra EB/EC = ED/EA → EA.EB = ED.EC

* Chứng minh góc EAD = góc ECB

- Chứng minh Δ EAD đồng dạng với Δ ECB (cgc)

- Suy ra góc EAD = góc ECB

b) - Từ góc BMC = 120o → góc AMB = 60o → góc ABM = 30o

- Xét Δ EDB vuông tại D có góc B = 30o

→ ED = 1/2 EB

- Lý luận cho SEAD/SECB = (ED/EB)2 từ đó SECB = 144 cm2

c) - Chứng minh BMI đồng dạng với Δ BCD (gg)

- Chứng minh CM.CA = CI.BC

- Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi

Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2 

d) - Chứng minh Δ BHD đồng dạng với Δ DHC (gg)

→ BH/DH = BD/DC → 2BP/2DQ = BD/DC → BP/DQ = BD/DC

- Chứng minh Δ DPB đồng dạng với Δ CQD (cgc)

→ góc BDP = góc DCQ mà góc BDP + góc PDC = 900 → CQ ⊥ P