Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi H là điểm đối xứng vớ M qua AB, E là giao điểm của MH và AB. Gọi L là điểm đối xứng với M qua AC, F là giao điểm của MK và AC. a) Xác định dạng của tứ giác AEMF, AMBH, AMCK. b) Chứng minh H đối xứng với K qua A. c) Tam giác vuông ABC có thêm điều kiện gì thì AEMF là hình vuông ?
Sửa đề: K là điểm đối xứng của M qua AC
a: M đối xứng H qua AB
=>AB là đường trung trực của MH
=>AB vuông góc MH tại trung điểm của MH
=>AB vuông góc MH tại E và E là trung điểm của MH
M đối xứng K qua AC
=>AC là đường trung trực của MK
=>AC vuông góc với MK tại trung điểm của MK
=>AC vuông góc với MK tại F và F là trung điểm của MK
ME\(\perp\)AB
AC\(\perp\)AB
Do đó: ME//AC
MF\(\perp\)AC
AB\(\perp\)AC
Do đó: MF//AB
Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC
ME//AC
Do đó: E là trung điểm của AB
Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC
MF//AB
Do đó: F là trung điểm của AC
Xét tứ giác AEMF có
\(\widehat{AEM}=\widehat{AFM}=\widehat{FAE}=90^0\)
=>AEMF là hình chữ nhật
Xét tứ giác AMBH có
E là trung điểm của AB và MH
Do đó: AMBH là hình bình hành
Hình bình hành AMBH có MH\(\perp\)AB
nên AMBH là hình thoi
Xét tứ giác AMCK có
F là trung điểm chung của AC và MK
=>AMCK là hình bình hành
Hình bình hành AMCK có AC\(\perp\)MK
nên AMCK là hình thoi
b: AMBH là hình thoi
=>AB là phân giác của góc MAH
=>\(\widehat{MAH}=2\cdot\widehat{BAM}\)
AMCK là hình thoi
=>AC là phân giác của góc MAK
=>\(\widehat{MAK}=2\cdot\widehat{MAC}\)
\(\widehat{MAH}+\widehat{MAK}=\widehat{KAH}\)
=>\(\widehat{KAH}=2\cdot\left(\widehat{MAB}+\widehat{MAC}\right)\)
=>\(\widehat{KAH}=2\cdot90^0=180^0\)
Do đó: K,A,H thẳng hàng
mà AH=AK(=AM)
nên A là trung điểm của HK
c: Để hình chữ nhật AEMF trở thành hình vuông thì AE=AF
mà \(AE=\dfrac{AB}{2};AF=\dfrac{AC}{2}\)
nên AB=AC
