Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH(H thuộc BC) . Đường phân giác của góc ABC cắt AC tại D, cắt AH tại E a) Biết AB = 9cm BC = 15cm Tính độ dài AC 2 b) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng tam giác HAC. Tính tỉ số đồng dạng, tỉ số diện tích c) Chứng minh tam giác HBA đồng dạng tam giác ABC. Tính tỉ số đồng dạng, tỉ số diện tích d) Gọi I là trung điểm của ED. Chứng minh (EI)/(EA) = (EH)/(EB)
a: ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(AC^2=15^2-9^2=144=12^2\)
=>AC=12(cm)
b: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHAC vuông tại H có
\(\widehat{ACB}\) chung
DO đó: ΔABC~ΔHAC
=>\(k=\dfrac{BC}{AC};\dfrac{S_{ABC}}{S_{HAC}}=\left(\dfrac{BC}{AC}\right)^2\)
c: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có
\(\widehat{HBA}\) chung
Do đó: ΔHBA~ΔABC
=>\(k=\dfrac{BA}{BC};\dfrac{S_{HBA}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{BA}{BC}\right)^2\)
d: Ta có: \(\widehat{ADE}+\widehat{ABD}=90^0\)(ΔABD vuông tại A)
\(\widehat{BEH}+\widehat{EBH}=90^0\)(ΔBHE vuông tại H)
mà \(\widehat{ABD}=\widehat{EBH}\)
nên \(\widehat{ADE}=\widehat{BEH}\)
=>\(\widehat{ADE}=\widehat{AED}\)
=>ΔADE cân tại A
ΔADE cân tại A
mà AI là đường trung tuyến
nên AI\(\perp\)ED
Xét ΔEIA vuông tại I và ΔEHB vuông tại H có
\(\widehat{IEA}=\widehat{HEB}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔEIA~ΔEHB
=>\(\dfrac{EI}{EH}=\dfrac{EA}{EB}\)
=>\(\dfrac{EI}{EA}=\dfrac{EH}{EB}\)
