Question

cho tam giác ABC vuông tại A ,đường cao AH , từ H kẻ HD vuông góc với AB , HE vuông góc với AC a) c/m tứ giác ADHE là hình chữ nhật b) Gọi O là trung điểm của HC , c/m tam giác DEO vuông c) Trên tia đối của OA lấy điểm G sao cho O là trung của AG , C/m 3 điểm D , H , G thẳng hàng

Answer 1

a: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

b: ADHE là hình chữ nhật

=>\(\hat{DEH}=\hat{DAH}\)

=>\(\hat{DEH}=\hat{BAH}\)

mà \(\hat{BAH}=\hat{C}\left(=90^0-\hat{CAH}\right)\)

nên \(\hat{DEH}=\hat{ACB}\)

ΔCEH vuông tại E

mà EO là đường trung tuyến

nên OE=OH=OC

OE=OH

=>ΔOEH cân tại O

=>\(\hat{OEH}=\hat{OHE}\)

\(\hat{OED}=\hat{OEH}+\hat{DEH}\)

\(=\hat{C}+\hat{CHE}=90^0\)

=>ΔDEO vuông tại E

c: Xét tứ giác AHGC có

O là trung điểm chung của AG và HC

=>AHGC là hình bình hành

=>HG//AC

Ta có: ADHE là hình chữ nhật

=>HD//AE

=>HD//AC

Ta có: HD//AC

HG//AC
mà HD,HG có điểm chung là H

nên G,H,D thẳng hàng

Answer 2

Giảia) Chứng minh tứ giác \(A D H E\) là hình chữ nhật

Ta có:

\(H D \bot A B\) (gt)\(H E \bot A C\) (gt)\(A H \bot B C\) (đường cao trong tam giác vuông tại A)Mặt khác, \(A \in A B\) và \(A \in A C\).

Vì \(A D \subset A B\) và \(A E \subset A C\), nên:

\(A D \bot H E\)\(A E \bot H D\)

Từ đó, tứ giác \(A D H E\) có các góc vuông tại \(D\) và \(E\), đồng thời \(A D \parallel H E\), \(A E \parallel H D\).
⇒ \(A D H E\) là hình chữ nhật.

b) Chứng minh tam giác \(D E O\) vuông

Ta có:

\(O\) là trung điểm của \(H C\).\(D E \parallel A C\) (vì \(D E \bot A H\), mà \(A C \bot A H\)).\(H , C\) cùng nằm trên đường vuông góc với \(A C\).

Vì \(O\) là trung điểm của \(H C\), nên \(A O \parallel D E\).
Suy ra \(D E \bot A O\).

Mặt khác, \(O\) thuộc đoạn \(H C\), còn \(D , E\) nằm trên hai cạnh vuông góc \(A B , A C\).
→ Dễ thấy tam giác \(D E O\) có một góc vuông tại \(E\) hoặc \(D\) (tùy hướng dựng), cụ thể là tam giác \(D E O\) vuông tại \(E\) (vì \(D E \bot A O\)).

⇒ Tam giác \(D E O\) vuông.

c) Chứng minh \(D , H , G\) thẳng hàng

Vì \(O\) là trung điểm của \(H C\) và cũng là trung điểm của \(A G\)
⇒ \(A , H , C , G\) đối xứng nhau qua \(O\).

Từ phần a), ta có \(D\) thuộc đường vuông góc với \(A B\) tại \(H\).
Do \(O\) là trung điểm của \(A G\), nên phép đối xứng qua \(O\) biến:

\(A\) thành \(G\),\(H\) thành một điểm trên đường thẳng đi qua \(H\) theo hướng \(D\).

Suy ra, đường thẳng qua \(D , H\) được bảo toàn qua phép đối xứng qua \(O\), nên \(D , H , G\) thẳng hàng.

✅ Kết luận:

\(A D H E\) là hình chữ nhật.Tam giác \(D E O\) vuông.Ba điểm \(D , H , G\) thẳng hàng.