Question

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH.

a) Chứng minh rằng tam giác HBA đồng dạng ABC

b) Qua C về đường thẳng song song với AB và cắt AH tại D. Chứng minh: AC^2= AB.CD

c) Cho I, K lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh: I, H, K thẳng hàng

Answer 1

a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có

\(\hat{HBA}\) chung

Do đó: ΔHBA~ΔABC

b: Ta có: CD//AB

=>\(\hat{CDH}=\hat{HAB}\) (hai góc so le trong)

mà \(\hat{HAB}=\hat{C}\left(=90^0-\hat{CAH}\right)\)

nên \(\hat{CDA}=\hat{ACB}\)

Ta có: CD//AB

AB⊥CA

Do đó: CD⊥CA

Xét ΔCDA vuông tại C và ΔACB vuông tại A có

\(\hat{CDA}=\hat{ACB}\)

Do đó: ΔCDA~ΔACB

=>\(\frac{CD}{AC}=\frac{CA}{AB}\)

=>\(AB\cdot CD=AC^2\)

c: ΔCHD vuông tại H

mà HK là đường trung tuyến

nên KH=KD

=>ΔKHD cân tại K

ΔHAB vuông tại H

mà HI là đường trung tuyến

nên IA=IH

=>ΔIAH cân tại I

Ta có: \(\hat{IHA}=\hat{IAH}\) (ΔIAH cân tại I)

\(\hat{KHD}=\hat{KDH}\) (ΔKDH cân tại K)

mà \(\hat{KDH}=\hat{HAI}\) (hai góc so le trong, CD//AB)

nên \(\hat{KHD}=\hat{AHI}\)

mà \(\hat{AHI}+\hat{IHD}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{KHD}+\hat{IHD}=180^0\)

=>K,H,I thẳng hàng