Question

Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao (H thuộc BC). Gọi D và E lần

lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh rằng: a, AEHD là hình chữ nhật b, ∆𝐴𝐵𝐻 ~∆𝐴𝐻𝐷  c, HE2 = AE.EC

d, Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng: ∆𝐷𝐵𝑀 ~∆𝐸𝐶𝑀

Answer 1

a. -Tứ giác AEHD có: \(\widehat{DAE}=\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=90^0\).

\(\Rightarrow\)AEHD là hình chữ nhật.

b. -△ABH và △AHD có: \(\widehat{AHB}=\widehat{ADH}=90^0;\widehat{BAH}\) là góc chung.

\(\Rightarrow\)△ABH∼△AHD (g-g)

c. \(\widehat{EAH}=90^0-\widehat{AHE}=\widehat{EHC}\)

-△AHE và △HCE có: \(\widehat{EAH}=\widehat{EHC};\widehat{AEH}=\widehat{HEC}=90^0\)

\(\Rightarrow\)△AHE∼△HCE (g-g) \(\Rightarrow\dfrac{HE}{CE}=\dfrac{AE}{HE}\Rightarrow HE^2=AE.EC\)

d. -Có: AEHD là hình chữ nhật \(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{EAH}\).

\(\widehat{EAH}=90^0-\widehat{ACB}=\widehat{ABC}\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{ABC}\).

-△AED và △ABC có: \(\widehat{AED}=\widehat{ABC};\widehat{BAC}\) là góc chung.

\(\Rightarrow\)△AED∼△ABC (g-g) \(\Rightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}\Rightarrow\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AB}{AC}\).

-△ABE và △ACD có: \(\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AB}{AC};\widehat{BAC}\) là góc chung.

\(\Rightarrow\)△ABE∼△ACD (c-g-c) \(\Rightarrow\widehat{DBM}=\widehat{ECM}\)

-△DBM và △ECM có: \(\widehat{DBM}=\widehat{ECM};\widehat{DMB}=\widehat{EMC}\)

\(\Rightarrow\)△DBM∼△ECM (g-g)