Question

Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Gọi P và Q lần lượt là hình chiếu của H xuống AB, AC. Gọi I là trung điểm của HB, K là trung điểm của HC, AH cắt PQ ở O a) Tứ giác APHQ là hình gì? b) Chứng minh tam giác KQH là tam giác cân c) Chứng minh góc KQP = 90 độ và PI song song QK

giúp mình với 

Answer 1

a: Xét tứ giác APHQ có

\(\widehat{APH}=\widehat{AQH}=\widehat{PAQ}=90^0\)

=>APHQ là hình chữ nhật

b: ΔCQH vuông tại Q

mà QK là đường trung tuyến

nên KQ=KH=KC

=>KQ=KH

=>ΔKQH cân tại K

c: Ta có: APHQ là hình chữ nhật

=>\(\widehat{PQH}=\widehat{PAH}\)

mà \(\widehat{PAH}=\widehat{C}\left(=90^0-\widehat{B}\right)\)

nên \(\widehat{PQH}=\widehat{C}\)

\(\widehat{KQP}=\widehat{KQH}+\widehat{PQH}=\widehat{KHQ}+\widehat{C}=90^0\)

=>KQ\(\perp\)QP(2)

ΔHPB vuông tại P

mà PI là đường trung tuyến

nên IP=IH

=>ΔIPH cân tại I

=>\(\widehat{IHP}=\widehat{IPH}\)

APHQ là hình chữ nhật

=>\(\widehat{QPH}=\widehat{QAH}\)

mà \(\widehat{QAH}=\widehat{B}\left(=90^0-\widehat{C}\right)\)

nên \(\widehat{QPH}=\widehat{B}\)

\(\widehat{QPI}=\widehat{QPH}+\widehat{IPH}=\widehat{PHB}+\widehat{PBH}=90^0\)

=>QP\(\perp\)PI(1)

Từ (1),(2) suy ra PI//QK