Question

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=AC và K là trung điểm của cạnh BC. Kẻ tia Cx vuông góc với BC cắt tia đối của tia AB ở D

a Chứng minh tam giác ABK=tam giác ACK và AK là tia phân giác của góc BAC

b Chứng minh AK song song với CD và tính số đo BDC

c Chứng minh A là trung điểm của đoạn thẳng BD

Answer 1

a) Xét tam giác ABK và ACK có :

AK chung

BK = CK (gt)

AB = AC (gt)

\(\Rightarrow\Delta ABK=\Delta ACK\left(c-c-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BAK}=\widehat{CAK}\) (Hai góc tương ứng)

hay AK là phân giác góc BAC.

b)

+) Do \(\Delta ABK=\Delta ACK\Rightarrow\widehat{BKA}=\widehat{CKA}\)(Hai góc tương ứng)

Chúng lại là hai góc kề bù nên \(\widehat{BKA}=\widehat{CKA}=\frac{180^o}{2}=90^o\)

Vậy thì \(\widehat{BKA}=\widehat{BCD}\left(=90^o\right)\) , chúng lại là hai góc đồng vị nên AK // DC.

+) Do AK là phân giác góc BAC nên \(\widehat{BAK}=\frac{\widehat{BAC}}{2}=45^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BDC}=\widehat{BAK}=45^o\) (Hai góc đồng vị)

c) Ta có \(\widehat{ABK}=45^o\Rightarrow\widehat{ACB}=45^o\Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{BCD}-\widehat{ACB}=45^o\)

Xét tam giác ACB và ACD có:

AC chung

\(\widehat{ACD}=\widehat{ACB}\left(=45^o\right)\)

\(\widehat{BAC}=\widehat{DAC}\left(=90^o\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ACB=\Delta ACD\left(g-c-g\right)\Rightarrow AB=AD\)

Vậy A là trung điểm BD.