Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho A là trung điểm của DB. Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt CD tại M.
C/m tam giác CDB cân.C/m M là trung điểm của đoạn thẳng CD.Gọi N là trung điểm của CB. C/m MN // DB.BM cắt CA tại G. Giả sử góc ACB = 30 độ, MG = 3cm. Tính độ dài cạnh AB.MỌI NGƯỜI GIẢI CÂU 4 GIÙM MÌNH NHA!!!!
a) Ta có: AC vừa là trung tuyến vừa là đường cao của tam giác CBD
=> Tam giác CDB cân tại C
b) Ta có: AM song song với BC(gt) và A là trung điểm của DB
=> M cũng là trung điểm của CD (Định lý về đường trung bình)
c) M là trung điểm của CD (theo câu b) và N là trung điểm của CB(gt)
=> MN là đường trung bình của tam giác CBD => MN // DB
\(4.\)- Vì \(\Delta CBD\)cân tại \(C\)(cmt) \(\Rightarrow\) \(CA\)là tia phân giác \(\widehat{BCD}\)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{BCD}=2.\widehat{BCA}=2.30^0=60^0\)
- Xét \(\Delta BCA\)vuông tại \(A\) \(\Rightarrow\) \(\widehat{ABC}+\widehat{BCA}=90^0\)
\(\Rightarrow\)\(\widehat{ABC}=90^0-\widehat{BCA}=90^0-30^0=60^0\)
- Xét \(\Delta CBD\)có \(\widehat{BCD}=60^0;\)\(\widehat{ABC}=60^0\) \(\Rightarrow\) \(\Delta CBD\)đều
- Xét \(\Delta CBD\)đều có:
\(\cdot\) \(M\)là trung điểm của \(DC\) (cmt) suy ra \(BM\) là đường trung tuyến của \(DC\)
\(\cdot\) \(A\) là trung điểm của \(DB\) (gt) suy ra \(CA\) là đường trung tuyến của \(DB\)
mà \(BM\)cắt \(CA\) tại \(G\) (gt) suy ra \(G\)là trọng tâm của \(\Delta CBD\)
nên \(BG=2.GM=2.3=6\left(cm\right)\)
- Vì \(\Delta CBD\)đều nên \(BM=CA\)suy ra \(GA=GM=3cm\)
- Xét \(\Delta ABG\) vuông tại \(A\)theo định lý Py-ta-go,
ta được: \(AB^2=BG^2-AG^2=6^2-3^2=27\)(cm)
\(\Rightarrow\) \(AB=\sqrt{27}\)
Xét \(\Delta BCD\)ta có:
CA là đường trung tuyến ( A là trung điểm của DB)
BM là đường trung tuyến ( M là trung điểm của CD)
BM cắt CA tại G (gt)
\(\Rightarrow\)G là trọng tâm của \(\Delta BCD\)
\(\Rightarrow MG=\frac{1}{3}BM\)
\(\Rightarrow BM=3MG=3\cdot3=9\left(cm\right)\)
Xét \(\Delta ABC\)vuông tại A ta có:
\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^o\)
\(\widehat{ABC}+30^o=90^o\)
\(\widehat{ABC}=90^o-30^o=60^o\)
Mà \(\Delta BCD\)cân tại C ( cmt)
Nên \(\Delta BCD\)đều
Mặt khác BM là đường trung tuyến ( M là trung điểm của CD)
\(\Rightarrow\)BM là đường cao của \(\Delta BCD\)
\(\Rightarrow BM⊥CD\)tại M
\(\Rightarrow\Delta BMD\)vuông tại M
\(\Rightarrow BD^2=DM^2+BM^2\)( ĐL Py - ta - go thuận)
\(\Rightarrow DM^2-BD^2+9^2=0\)
Ta có:
\(\hept{\begin{cases}DM^2-BD^2+81=O\left(cmt\right)\\DM=\frac{1}{2}CD\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{1}{2}CD\right)^2-BD^2+81=0\)
Mà CD = BD ( \(\Delta BCD\)đều)
Nên \(\frac{1}{4}BD^2-BD^2+81=0\)
\(-\frac{3}{4}BD^2+81=0\)
\(BD^2=81\cdot\frac{4}{3}=108\)
\(BD=\sqrt{108}\left(cm\right)\)
Ta có:
\(AB=\frac{BD}{2}\)( A là trung điểm của DB)
\(AB=\frac{\sqrt{108}}{2}\)
