Question

Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC).Tia phân giác của B cắt AC tại M.
Kẻ MD vuông góc với BC tại D.
a) Chứng minh tam giác BAD cân.
b) Chứng minh BM là đường trung trực của đoạn thẳng AD.
c) Kéo dài AB và MD cắt nhau tại E. Chứng minh tam giác MEC cân .
d) Chứng minh AD // EC.

Answer 1

- Hình bên dưới .

a,- Ta có : BM là phân giác của góc ABC .

=> \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\)

- Xét \(\Delta BAM\) và \(\Delta BMD\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BAM}=\widehat{BDM}\left(=90^o\right)\\BM=BM\\\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

=> \(\Delta BAM\) = \(\Delta BMD\) ( Ch - cgn )

=> BA = BD , MA = MD ( cạnh tương ứng )

- Xét tam giác BAD có : BA = BD ( cmt )

=> Tam giác BAD cân tại B .

b, - Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB=BD\\MA=MD\end{matrix}\right.\) ( cmt )

=> BM là đường trung trực của AD .

c, - Ta có : \(\widehat{M_1}=\widehat{M_2}\) ( đối đính )

Mà \(\widehat{M_3}=\widehat{M_4}\) ( \(\Delta BAM\) = \(\Delta BMD\) )

=> \(\widehat{M_1}+\widehat{M_3}=\widehat{M_2}+\widehat{M_4}\)

=> \(\widehat{BME}=\widehat{BMC}\)

- Xét \(\Delta BME\) và \(\Delta BMC\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\left(cmt\right)\\BM=BM\\\widehat{BME}=\widehat{BMC}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

=> \(\Delta BME\) = \(\Delta BMC\) ( g - c - g )

=> EM = CM ( cạnh tương ứng )

- Xét tam giác MEC có : EM = CM ( cmt )

=> Tam giác MEC cân tại M .

Answer 2

- Ta có : Tam giác BAC cân tại B .

=> Góc BAD = ( 180^o - góc ABD ) /2

CMTT ta được : Góc BEC = ( 180^o - góc ABD ) /2

=> Góc BAD = Góc BEC .

Mà chúng ở vị trí đồng vị .

=> AD // EC