Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. a) chứng minh AB = DC và AB // DC. b) chứng minh tam giác ACD = tam giác CAB từ đó suy ra AM = BC : 2. c)Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. Chứng minh BE // AM. d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để AC = BC : 2. e) Gọi O là trung điểm của AB. Chứng minh ba điểm E,O,D thẳng hàng.
a: Xét ΔMAB và ΔMDC có
MA=MD
\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\)(hai góc đối đỉnh)
MB=MC
Do đó: ΔMAB=ΔMDC
=>AB=DC
Ta có: ΔMAB=ΔMDC
=>\(\widehat{MAB}=\widehat{MDC}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên AB//DC
b: Ta có: AB//DC
AB\(\perp\)AC
Do đó: DC\(\perp\)AC
Xét ΔDCA vuông tại C và ΔBAC vuông tại A có
DC=BA
AC chung
Do đó: ΔDCA=ΔBAC
=>DA=BC
mà \(AM=\dfrac{1}{2}AD\)
nên \(AM=\dfrac{BC}{2}\)
c: Vì AC và AE là hai tia đối nhau
nên A nằm giữa C và E
mà AC=AE
nên A là trung điểm của CE
Xét ΔCEB có
A,M lần lượt là trung điểm của CE,CB
=>AM là đường trung bình của ΔCEB
=>AM//EB và \(AM=\dfrac{1}{2}EB\)
d: Để \(AC=\dfrac{BC}{2}\) thì \(sinABC=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{1}{2}\)
=>\(\widehat{ABC}=30^0\)
e:
Ta có: \(AM=\dfrac{1}{2}EB\)
\(AM=\dfrac{1}{2}AD\)
Do đó: EB=AD
Xét tứ giác ADBE có
AD//BE
AD=BE
Do đó: ADBE là hình bình hành
=>AB cắt DE tại trung điểm của mỗi đường
mà O là trung điểm của AB
nên O là trung điểm của DE
=>E,O,D thẳng hàng
