Question

cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). có AD là đường phân giác góc A

a) Giả sử AB = 4,5cm; AC = 6cm; BC = 7,5cm. Tính BD,CD

b) GỌi M,N là hình chiếu của D lên AB,AC. Tứ giá AMDN là hình gì? VÌ sao?

c) CM: \(\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}=\dfrac{1}{AM}\)

Answer 1

a: Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\dfrac{DB}{AB}=\dfrac{DC}{AC}\)

=>\(\dfrac{DB}{4,5}=\dfrac{DC}{6}\)

=>\(\dfrac{DB}{3}=\dfrac{DC}{4}\)

mà DB+DC=BC=7,5cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{DB}{3}=\dfrac{DC}{4}=\dfrac{DB+DC}{3+4}=\dfrac{7.5}{7}=\dfrac{15}{14}\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}DB=\dfrac{15}{14}\cdot3=\dfrac{45}{14}\left(cm\right)\\DC=4\cdot\dfrac{15}{14}=\dfrac{60}{14}=\dfrac{30}{7}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

b: Xét tứ giác AMDN có \(\widehat{AMD}=\widehat{AND}=\widehat{MAN}=90^0\)

nên AMDN là hình chữ nhật

Hình chữ nhật AMDN có \(\widehat{MAN}=90^0\)

nên AMDN là hình vuông

c: Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(AD=\dfrac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot cos\left(\dfrac{BAC}{2}\right)\)

=>\(AD=\dfrac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot cos45=\dfrac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

=>\(AD=\dfrac{AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot\sqrt{2}\)

=>\(\dfrac{AD}{\sqrt{2}}=\dfrac{AB\cdot AC}{AB+AC}\)

=>\(\dfrac{\sqrt{2}}{AD}=\dfrac{AB+AC}{AB\cdot AC}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}\)

Vì AMDN là hình chữ nhật

nên \(AD=AM\cdot\sqrt{2}\)

=>\(\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}=\dfrac{\sqrt{2}}{AD}=\dfrac{\sqrt{2}}{AM\cdot\sqrt{2}}=\dfrac{1}{AM}\)