a: Xét ΔABC có AD là phân giác
nên \(\dfrac{DB}{AB}=\dfrac{DC}{AC}\)
=>\(\dfrac{DB}{4,5}=\dfrac{DC}{6}\)
=>\(\dfrac{DB}{3}=\dfrac{DC}{4}\)
mà DB+DC=BC=7,5cm
nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\dfrac{DB}{3}=\dfrac{DC}{4}=\dfrac{DB+DC}{3+4}=\dfrac{7.5}{7}=\dfrac{15}{14}\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}DB=\dfrac{15}{14}\cdot3=\dfrac{45}{14}\left(cm\right)\\DC=4\cdot\dfrac{15}{14}=\dfrac{60}{14}=\dfrac{30}{7}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)
b: Xét tứ giác AMDN có \(\widehat{AMD}=\widehat{AND}=\widehat{MAN}=90^0\)
nên AMDN là hình chữ nhật
Hình chữ nhật AMDN có \(\widehat{MAN}=90^0\)
nên AMDN là hình vuông
c: Xét ΔABC có AD là phân giác
nên \(AD=\dfrac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot cos\left(\dfrac{BAC}{2}\right)\)
=>\(AD=\dfrac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot cos45=\dfrac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
=>\(AD=\dfrac{AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot\sqrt{2}\)
=>\(\dfrac{AD}{\sqrt{2}}=\dfrac{AB\cdot AC}{AB+AC}\)
=>\(\dfrac{\sqrt{2}}{AD}=\dfrac{AB+AC}{AB\cdot AC}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}\)
Vì AMDN là hình chữ nhật
nên \(AD=AM\cdot\sqrt{2}\)
=>\(\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}=\dfrac{\sqrt{2}}{AD}=\dfrac{\sqrt{2}}{AM\cdot\sqrt{2}}=\dfrac{1}{AM}\)