Question

Cho tam giác ABC vuông ở C.  gọi M,N lần lượt là trung điểm của các  cạnh và AB .Gọi P là điểm đối xứng của M qua N.                                                             

a chứng minh tứ giác MBPA là hình bình hành                                                     

b. chứng minh tứ giác PACM là h.c.n                                                                      

c. đường thẳng CN cắt PB ở Q. Chứng minh BQ=2PQ                         

Answer 1

Lời giải:

a) 

Vì $M,P$ đối xứng nhau qua $N$ nên $N$ là trung điểm của $MP$

Tứ giác $MBPA$ có 2 đường chéo $AB, MP$ cắt nhau tại trung điểm $N$ của mỗi đường nên $MBPA$ là hình bình hành. 

b) 

Vì $MBPA$ là hình bình hành nên $PA\parallel MB$ và $PA=MB$. Mà $MC=MB$ và $M,C,B$ thẳng hàng nên $PA\parallel MC$ và $PA=MC$.

Tứ giác $PACM$ có cặp cạnh đối $PA, CM$ vừa song song vừa bằng nhau nên $PACM$ là hình bình hành. Mà $\widehat{C}=90^0$ nên $PACM$ là hình chữ nhật. 

c) 

Xét tam giác $PMB$ và 3 điểm $C,N,Q$ thẳng hàng, áp dụng định lý Menelaus ta có:

\(\frac{CM}{CB}.\frac{NP}{NM}.\frac{QB}{QP}=1\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}.1.\frac{QB}{QP}=1\Leftrightarrow QB=2QP\) (đpcm)

Answer 2

Hình vẽ: