Question

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm D trên đoạn thẳng AB (D khác A và B), đường thẳng vuông góc với MD tại M cắt AC tại E. a) Chứng minh: MD = ME

b) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = BD, DK cắt BC tại I, Kẻ DP vuông góc BC, KQ vuông góc BC. Chứng minh: I là trung điểm của DK

c) Đường vuông góc với DK tại I cắt AM tại S, Chứng minh: SC vuông góc với AK

Answer 1

a: Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MB=MC

ΔABC cân tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM⊥BC tại M

Ta có: \(\hat{AMD}+\hat{AME}=\hat{DME}=90^0\)

\(\hat{AME}+\hat{CME}=\hat{AMC}=90^0\)

Do đó: \(\hat{AMD}=\hat{CME}\)

ΔABC cân tại A

mà AM là đường cao

nên AM là phân giác của góc BAC

=>\(\hat{BAM}=\hat{CAM}=\frac{90^0}{2}=45^0\)

mà \(\hat{ABC}=\hat{ACB}=45^0\) (ΔABC vuông cân tại A)

nên \(\hat{BAM}=\hat{CAM}=\hat{ABC}=\hat{ACB}\)

Xét ΔDAM và ΔECM có

\(\hat{MAD}=\hat{MCE}\left(=45^0\right)\)

MA=MC

\(\hat{DMA}=\hat{EMC}\)

Do đó: ΔDAM=ΔECM

=>MD=ME