-Gọi D là trung điểm BC, trên đoạn BC lấy điểm E sao cho \(BM=CE\).
-AE cắt NP tại F, MF cắt AD tại G.
\(MC=3MB;MC+MB=BC\Rightarrow MB=\dfrac{1}{4}BC\Rightarrow CE=\dfrac{1}{4}BC\)
\(NA=3NC;NA+NC=AC\Rightarrow NA=\dfrac{1}{4}AC\)
-△ABC có: \(\dfrac{CE}{BC}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow\)NE//AB (định lí Ta-let đảo)
\(\Rightarrow\dfrac{NE}{AB}=\dfrac{CE}{BC}=\dfrac{1}{4}\)mà \(\dfrac{AP}{BC}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow NE=AP\)
-Tứ giác ANEP có: \(NE=AP\), NE//AP.
\(\Rightarrow\)ANEP là hình bình hành \(\Rightarrow\)F là trung điểm của AE và PN.
-Có: \(BD=CD;BM=CE\Rightarrow BD-BM=CD-CE\Rightarrow MD=ED\Rightarrow\)D là trung điểm ME.
-△AME có: Trung tuyến AD cắt trung tuyến MF tại G.
\(\Rightarrow\)G là trọng tâm của △AME \(\Rightarrow\dfrac{AG}{AD}=\dfrac{2}{3};\dfrac{MG}{MF}=\dfrac{2}{3}\)
-△ABC có: AD trung tuyến, G thuộc AB, \(\dfrac{AG}{AD}=\dfrac{2}{3}\)
\(\Rightarrow\)G là trọng tâm △ABC (1).
-△MNP có: MF trung tuyến, G thuộc MF, \(\dfrac{MG}{MF}=\dfrac{2}{3}\)
\(\Rightarrow\)G là trọng tâm △MNP (2).
-Từ (1) và (2) ta suy ra đpcm.
