Gọi BC tiếp xúc với (I), (I1), (I2) lần lượt tại D,M,N. AP cắt EF tại H và tiếp xúc với (I1),(I2) lần lượt tại Q,R.
Ta có \(EF=MN;EF=HE+HF=2HQ+QR;MN=PM+PN=2PR+RQ\)
Suy ra \(HE=PN\)
Lại có \(DN=PD+PN=CD-CP+PN=\frac{CA+BC-AB+CP+PA-CA-2CP}{2}\)
\(=\frac{BP+PA-AB}{2}=PM\) hay \(PN=DM\). Suy ra \(HE=DM\)
Mà tứ giác EFNM là hình thang cân nên \(HD||EM||FN\)
Nếu gọi DH cắt lại (I) tại K thì các tam giác cân \(EI_1M,KID,FI_2N\) đồng dạng có các cạnh tương ứng song song đôi một
Do đó \(II_1,DM,KE\) đồng quy tại B, \(II_2,DN,KF\) đồng quy tại C
Nói cách khác, BE và CF cắt nhau tại K. Vậy BE và CF gặp nhau trên (I).