Question

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Kẻ đường cao BD, CE (D thuộc AC, E thuộc AB). 

a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp.

b) Cho BD, CE lần lượt cắt đường tròn tâm O tại P, Q và BD cắt CE tại H. Chứng minh: PQ//DE và BH×BD + CH×CE = BC^2

Answer 1

a: Xét tứ giác BEDC có \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\)

nên BEDC là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

\(\widehat{CQP}\) là góc nội tiếp chắn cung CP

\(\widehat{CBP}\) là góc nội tiếp chắn cung CP

Do đó: \(\widehat{CQP}=\widehat{CBP}\)

mà \(\widehat{CBP}=\widehat{HED}\)(BEDC nội tiếp)

nên \(\widehat{HED}=\widehat{HQP}\)

=>ED//PQ

Gọi K là giao điểm của AH và BC

Xét ΔABC có

BD,CE là các đường cao

BD cắt CE tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC tại K

Xét ΔBKH vuông tại K và ΔBDC vuông tại D có

\(\widehat{KBH}\) chung

Do đó: ΔBKH~ΔBDC

=>\(\dfrac{BK}{BD}=\dfrac{BH}{BC}\)

=>\(BH\cdot BD=BK\cdot BC\)

Xét ΔCKH vuông tại K và ΔCEB vuông tại E có

\(\widehat{KCH}\) chung

Do đó: ΔCKH~ΔCEB

=>\(\dfrac{CK}{CE}=\dfrac{CH}{CB}\)

=>\(CH\cdot CE=CK\cdot CB\)

\(BH\cdot BD+CH\cdot CE\)

\(=BK\cdot BC+CK\cdot BC=BC\left(BK+CK\right)=BC^2\)