a) - Do \(\Delta ABC\) nội tiếp đg tròn tâm O.
\(\Rightarrow\) O là giao của 3 đg trung trực.
\(\Rightarrow\) OM là đg trung trực.
- Dựng đg trung trực OE của \(\Delta ABC\).
- \(\Delta ABC\) có: E, M là t/đ của AC, BC.
\(\Rightarrow\)EM là đg trung bình của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow ME=\dfrac{AB}{2}\), ME//AB.
\(\widehat{OME}=90^0-\widehat{EMC}=90^0-\widehat{ABC}=\widehat{BAH}\) (\(AH\perp BC\)).
\(\widehat{OEM}=90^0-\widehat{CEM}=90^0-\widehat{BAC}=\widehat{ABH}\) (\(BH\perp AC\)).
\(\Delta ABH\) và \(\Delta MEO\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BAH}=\widehat{EMO}\\\widehat{ABH}=\widehat{MEO}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta ABH\sim\Delta MEO\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{AH}{OM}=\dfrac{AB}{ME}=2\Rightarrow OM=\dfrac{AH}{2}\)
b) xét tứ giác APHN có
góc A = góc P = góc N = 90 => APHN là HCN
gọi giao của AH và PN là E
=> E thuộc PN (1)
=> E là trung điểm của AH ( tc HCN)
xét tứ giác AEMO có
AE =OM = 1/2 .AH
mà AE // OM => ADOM là hình bình hành => ME // AO (2)
kẻ AH cắt BC tại T => AT vuông BT => ATB = 90
kẻ đường kính AK của đường tròn => ACK = 90 ( góc nội tiếp chắn 1/2 đg tròn) => AC vuông CK
xét tam giác ATB và tam giác ACK có
góc ATB = ACK = 90
góc ABT = góc AKC cùng chắn AC
=> đồng dạng ( gg)
=> góc BAH = góc OAC ( 2 góc tương ứng)
lại có AD là phân giác góc BAC => góc BAD = góc CAD
mà góc BAH + góc HAD = góc BAD
góc OAC + góc DAO = góc CAD
=> góc DAO = góc HAD
xét HCN APHN có
góc HAD = góc ANP
=> góc DAO = góc ANP mà 2 góc ở vị trí so le trong => PN // AO (3)
từ 1-2-3=> 4 điểm P,E,N,M thẳng hàng
