a: kẻ DH\(\perp\)AB tại H, DK\(\perp\)AC tại K; DM\(\perp\)BC tại M
Xét ΔBHD vuông tại H và ΔBMD vuông tại M có
BD chung
\(\widehat{MBD}=\widehat{HBD}\)
Do đó: ΔBHD=ΔBMD
=>MH=MD
Xét ΔCMD vuông tại M và ΔCKD vuông tại K có
CD chung
\(\widehat{MCD}=\widehat{KCD}\)
Do đó: ΔCMD=ΔCKD
=>DM=DK
=>DH=DK
Xét ΔAHD vuông tại H và ΔAKD vuông tại K có
AD chung
DH=DK
Do đó: ΔAHD=ΔAKD
=>\(\widehat{HAD}=\widehat{KAD}\)
=>AD là phân giác của góc BAC(1)
Xét ΔABC có
BE,CE là các đường phân giác
BE cắt CE tại E
Do đó: E là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC
=>AE là phân giác của góc BAC(2)
Từ (1),(2) suy ra A,E,D thẳng hàng
b: BE và BD là hai tia phân giác của hai góc kề bù
=>BE\(\perp\)BD
=>\(\widehat{EBD}=90^0\)
CE và CD là hai tia phân giác của hai góc kề bù
=>CE\(\perp\)CD
=>\(\widehat{ECD}=90^0\)
Xét tứ giác EBDC có \(\widehat{EBD}+\widehat{ECD}=90^0+90^0=180^0\)
nên EBDC là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{BED}=\widehat{BCD}\)
Xét ΔIEB và ΔICD có
\(\widehat{IEB}=\widehat{ICD}\)
\(\widehat{EIB}=\widehat{CID}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔIEB~ΔICD
=>\(\dfrac{IE}{IC}=\dfrac{IB}{ID}\)
=>\(IE\cdot ID=IB\cdot IC\)
