Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O,R), D là điểm thuộc cạnh BC sao cho AD là phân giác góc BAC.đường thẳng qua C và song song với AD cắt trung trực của AC tại E. đường thẳng qua B song song với AD cắt trung trực của AB tại F.
a.CM: tg ABF đồng dạng tg ACE
b. CMR: các đường thẳng BE, CF, AD đồng quy tại 1 điểm, điểm đó gọi là G.
c. đường thẳng đi qua G song song với AE cắt BF tại Q. đường thẳng QE cắt đường tròn ngoại tiếp tg GEC tại P khác E. CMR: các điểm A, P, G, Q, F cùng thuộc 1 đường tròn.
a) Ta dễ thấy ^ABF = ^BAF = ^BAD = ^CAD = ^ACE = ^CAE. Suy ra \(\Delta\)ABF ~ \(\Delta\)ACE (g.g) (đpcm).
b) Gọi BE cắt CF tại G. Áp dụng hệ quả ĐL Thales, kết hợp với \(\Delta\)ABF ~ \(\Delta\)ACE ta có:
\(\frac{GC}{GF}=\frac{CE}{FB}=\frac{AC}{AB}\). Mà \(\frac{AC}{AB}=\frac{DC}{DB}\)(ĐL đường phân giác trong tam giác) nên \(\frac{GC}{GF}=\frac{DC}{DB}\)
Do đó GD // BF // CE (ĐL Thales đảo). Lại có AD // BF // CE nên A,G,D thẳng hàng
Vậy thì AD,BE,CF cắt nhau tại G (đpcm).
c) Chú ý GQ // AE suy ra ^AGQ = ^GAE = ^GAF, đồng thời có AG // QF. Suy ra AFQG là hình thang cân (1)
Mặt khác BF // CE dẫn đến ^GFQ = ^GCE = ^GPQ. Từ đây bốn điểm P,Q,F,G cùng thuộc một đường tròn (2)
Từ (1) và (2) suy ra các điểm A,P,G,Q,F cùng thuộc một đường tròn (đpcm).
