Question

cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O. gọi H là giao diểm  của 3 đường cao AD,BE,CF của tam giác ABC

A/ gọi M,N lần lượt là giao điẻm của BE và .chứng minh OA vuông góc MN và AH.AD+BH.BE=AB^2

thank
 

Answer 1

có ∠ABE+∠BAC=90

∠ACF+∠BAC=90

⇒∠ABE=∠ACF=∠AM=∠AN⇒∠AM=∠AN

có OM=ON⇒ OA là trung trực

⇒OA⊥MN

xét ΔAFH và ΔADB có

∠A chung

∠F=∠D=90

⇒ΔAFH ∼ ΔADB (g.g)

⇒\(\dfrac{AF}{AH}=\dfrac{AD}{AB}\)=AF.AB=AH.AD

tương tự xét ΔBFH và ΔBEA có

∠B chung

∠F=∠E=90

⇒ΔBFH ∼ ΔBEA (g.g)

⇒\(\dfrac{BF}{BH}=\dfrac{BE}{BA}\)=BF.BA=BH.BE

⇒AH.AD+BH.BE=AB²