a: Xét ΔBDH vuông tại D và ΔBEC vuông tại E có
\(\widehat{DBH}\) chung
Do đó: ΔBDH~ΔBEC
=>\(\dfrac{BD}{BE}=\dfrac{BH}{BC}\)
=>\(BH\cdot BE=BD\cdot BC\)
Xét ΔCDH vuông tại D và ΔCFB vuông tại F có
\(\widehat{DCH}\) chung
Do đó: ΔCDH~ΔCFB
=>\(\dfrac{CD}{CF}=\dfrac{CH}{CB}\)
=>\(CH\cdot CF=CD\cdot CB\)
\(BH\cdot BE+CH\cdot CF\)
\(=BD\cdot BC+CD\cdot BC\)
\(=BC\left(BD+CD\right)=BC^2\)
b: Xét ΔHID vuông tại I và ΔHDB vuông tại D có
\(\widehat{IHD}\) chung
Do đó: ΔHID~ΔHDB
=>\(\dfrac{HI}{HD}=\dfrac{HD}{HB}\)
=>\(HI\cdot HB=HD^2\left(1\right)\)
Xét ΔHKD vuông tại K và ΔHDC vuông tại D có
\(\widehat{KHD}\) chung
Do đó: ΔHKD~ΔHDC
=>\(\dfrac{HK}{HD}=\dfrac{HD}{HC}\)
=>\(HK\cdot HC=HD^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(HI\cdot HB=HK\cdot HC\)
=>\(\dfrac{HI}{HC}=\dfrac{HK}{HB}\)
Xét ΔHIK và ΔHCB có
\(\dfrac{HI}{HC}=\dfrac{HK}{HB}\)
góc IHK chung
Do đó: ΔHIK~ΔHCB
=>\(\widehat{HIK}=\widehat{HCB}\left(3\right)\)
Xét ΔHFB vuông tại F và ΔHEC vuông tại E có
\(\widehat{FHB}=\widehat{EHC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔHFB~ΔHEC
=>\(\dfrac{HF}{HE}=\dfrac{HB}{HC}\)
=>\(\dfrac{HF}{HB}=\dfrac{HE}{HC}\)
Xét ΔHFE và ΔHBC có
\(\dfrac{HF}{HB}=\dfrac{HE}{HC}\)
\(\widehat{FHE}=\widehat{BHC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔHFE~ΔHBC
=>\(\widehat{HEF}=\widehat{HCB}\left(4\right)\)
Từ (3),(4) suy ra \(\widehat{HEF}=\widehat{HIK}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị
nên FE//IK